Blumenthalsches Null-Eins-Gesetz

Das Blumenthalsche 0-1-Gesetz, benannt nach R. M. Blumenthal, ist ein mathematischer Satz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wie alle Null-Eins-Gesetze beschreibt er eine Klasse von Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeiten stets 0 oder 1 sind.

Aussage

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ eine darauf definierte Brownsche Bewegung mit Filtrierung ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (\{B_{s}\mid s\leq t\})}$. Dann ist die σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}^{ }}$, definiert durch ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}_{0}^{ }=\bigcap _{t>0}{\mathcal {F}}_{t}}$, ${\displaystyle \mathbb {P} }$-trivial, d. h. es gilt: ${\displaystyle \mathbb {P} (A)\in \{0,1\}}$ für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{0}^{ }}$.

Anschaulich beinhaltet ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}^{ }}$ genau jene Ereignisse, die nur von ${\displaystyle (B_{t})_{0\leq t\leq \varepsilon }}$, für beliebig kleines ${\displaystyle \varepsilon }$ abhängen. Beispielsweise ist das Ereignis ${\displaystyle A=\{\forall \varepsilon >0\exists t>0:\;t<\varepsilon \wedge B_{t}=0\}\in {\mathcal {F}}_{0}^{ }}$, es gilt also ${\displaystyle \mathbb {P} (A)\in \{0,1\}}$.

Literatur

• Blumenthal, R.M.: An extended Markov property. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 85, 1957, S. 52–72.
• Klenke, Achim: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8